第五章热量传递基础

概念

温度场：空间中温度随位置与时间的分布。
- 稳态温度场：任一点温度不随时间变化，即 $\partial T/\partial \tau=0$ 。
- 非稳态温度场：温度随时间变化，即 $\partial T/\partial \tau\neq 0$ 。
等温面：温度相同的点所构成的曲面；等温面一般不相交（同一空间点不能同时具有两个温度值）。
三种传热方式：热传导、对流、热辐射。工程问题中常为多种方式耦合。

一、热传导

1. 传热速率与热通量

传热量（热量传递速率）常记为 $Q$ （单位 $W$ ）。
热通量（热流密度）记为 $q$ （单位 $W/m^2$ ），定义为单位面积上的传热量：

$q=\frac{dQ}{dA}$

2. 傅里叶定律 ⭐

沿法向 $n$ 的一维导热中：

$q=-\lambda \frac{\partial t}{\partial n}$

$\lambda$ ：导热系数，单位 $W/(m\cdot K)$ （也常写作 $W/(m\cdot^\circ C)$ ，因温差数值相同）
$\partial t/\partial n$ ：温度梯度
负号表示热量传递方向指向温度降低方向

对比提示：该形式与牛顿黏性定律在“通量 = 系数 × 梯度”结构上具有类比意义。

3. 导热系数 $\lambda$ 的相对大小规律与影响因素（定性）

典型大小规律： $\lambda_{\text{导电固体}}>\lambda_{\text{非导电固体}}$ ； $\lambda_{\text{液体}}>\lambda_{\text{气体}}$ 。
温度影响（常见规律）：
- 气体： $T\uparrow\Rightarrow \lambda\uparrow$
- 水、甘油等液体： $T\uparrow\Rightarrow \lambda\uparrow$ （并非所有液体都如此）
- 多数金属与多数液体： $T\uparrow\Rightarrow \lambda\downarrow$ （工程上以数据表/关联式为准）
- 多数非金属固体： $T\uparrow\Rightarrow \lambda\uparrow$
- 对于大多数均质固体，在一定温度范围内，其导热系数与温度近似呈线性关系，可表示为
$\lambda = \lambda_0(1 + kt)$
金属材料：纯度越高，导热系数通常越大（杂质/缺陷增加会削弱传热能力）。

4. 一维稳态导热 ⭐

4.1 平壁

平壁厚度 $b$ 、面积 $A$ ，两侧温度 $t_1,t_2$ ：

$Q=qA=\frac{t_1-t_2}{\frac{b}{\lambda A}}=\frac{推动力}{热阻}$

导热热阻（平壁）：

$R_\lambda=\frac{b}{\lambda A}$

4.2 圆筒壁（用对数平均面积表示）

圆筒壁内外温度 $t_1,t_2$ ：

$Q=\frac{t_1-t_2}{\frac{b}{\lambda A_m}}$

其中对数平均面积（以圆筒外形为例）：

$A_m=2\pi r_m L,\qquad r_m=\frac{r_2-r_1}{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}$

$r_1,r_2$ ：内、外半径
$L$ ：圆筒长度
$A_m$ ：对数平均面积（用于把圆筒径向导热写成“平壁型”热阻形式）

4.3 多层材料导热：总推动力 / 总热阻 ⭐

多层串联导热（例如三层），总传热量可写为：

$Q=\frac{\text{总推动力}}{\text{总热阻}} =\frac{t_1-t_4}{\sum_{i=1}^{3}\frac{b_i}{\lambda_i A}}$

圆筒多层导热用各层对应的 $A_{mi}$ ：

$Q=\frac{t_1-t_4}{\sum_{i=1}^{3}\frac{b_i}{\lambda_i A_{mi}}}$

关键点：稳态串联传热中，各层 $Q$ 相等，温差按热阻分配。

4.4 保温层临界尺寸（临界半径）⭐

当圆筒外壁包覆保温层、且外表面与环境之间以对流换热为主时，总传热过程可视为“径向导热 + 外表面对流”串联。对单位长度圆筒（取 $L=1$ ）：

保温层的径向导热热阻（内半径 $r_1$ 到外半径 $r_2$ ）：

$R_\lambda=\frac{r_2-r_1}{\lambda 2\pi L \frac{r_2-r_1}{ln(\frac{r_2}{r_1})}}=\frac{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi\lambda}$

外表面对流热阻（外表面积 $A_2=2\pi r_2$ ）：

$R_\alpha=\frac{1}{\alpha A_2}=\frac{1}{2\pi\alpha r_2}$

因此总热阻为：

$R_{\text{总}}=R_\lambda+R_\alpha=\frac{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi\lambda}+\frac{1}{2\pi\alpha r_2}$

在给定内表面温度与环境温度差 $\Delta T$ 下，传热量

$Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{总}}}$

要达到极值等价于使 $R_{\text{总}}$ 对 $r_2$ 取极小值。对 $R_{\text{总}}(r_2)$ 求极值（只给结论）可得：

$r_c=\frac{\lambda}{\alpha}$

其中：

$r_c$ ：临界半径（保温层外表面半径达到该值时，总热阻最小、传热量最大）
$\lambda$ ：保温材料导热系数
$\alpha$ ：外表面对流传热系数

使用含义（工程判断）：

若原外半径 $r_0<r_c$ ：初期加保温层时，外表面积 $A_2=2\pi r_2L$ 增大使 $R_\alpha$ 明显减小，可能抵消甚至超过导热热阻增加，导致 $Q$ 不降反升。
当外半径增至 $r_2>r_c$ ：继续加厚保温层时，导热热阻增加成为主导，总热阻增大， $Q$ 随之降低。

注意：该结论针对圆筒外包覆保温层且外侧以对流为主的情形；若外侧辐射占主导或 $\alpha$ 随 $r_2$ 变化显著，应按相应的总热阻模型重新判断。

二、对流

1. 概念：热边界层与影响因素

对流传热发生在流体与固体表面（或不同温度流体）之间，近壁面区域存在温度梯度显著的热边界层。对流传热系数 $\alpha$ 受以下因素影响显著：

流动状态（层流/湍流）
流速与流体物性（ $\rho,\mu,\lambda,c_p$ 等）
几何尺寸与流动形状（管内/管外、入口段、曲率、束管排列等）
自然对流中重力与热膨胀效应

2. 对流传热中的几个准数 ⭐

对流传热问题中常通过无量纲准数来表征流动与传热特性，其定义与物理意义如下表所示。

名称	符号	定义式	物理意义
努塞尔特数	$Nu$	$Nu=\dfrac{\alpha l}{\lambda}$	对流传热与厚度为 L 的流体层内传热导之比。努塞尔数越大，对流传热强度越大。它反映了固体壁面处的无因次温度梯度的大小
雷诺数	$Re$	$Re=\dfrac{\rho u l}{\mu}$	惯性力与黏性力之比。雷诺数小，表示流体的黏性力起控制作用；反之，则流体的惯性力起控制作用
普朗特数	$Pr$	$Pr=\dfrac{c_p\mu}{\lambda}$	动量扩散与热量扩散之比。它表征了流体的动量传递能力与热量传递能力的相对强弱。普朗特数越小，流体的传热能力越强；反之，则流体的传热能力越差
格拉斯霍夫数	$Gr$	$Gr=\dfrac{l^3\rho^2\beta g\Delta t}{\mu^2}$	浮力与黏性力对流传热的影响。它反映了由于流体中温度差引起密度差所导致的浮力对流的影响。它在自然对流中的作用与强制对流中雷诺数的作用相当

其中：

$l$ —— 特征长度
$\alpha,\rho,\mu,\lambda,c_p$ —— 对流传热系数、流体密度、动力黏度、导热系数、定压比热
$u$ —— 流体特征速度
$\beta$ —— 体膨胀系数
$\Delta t$ —— 特征温差

3. 牛顿冷却定律 ⭐

对流换热的基本表达式：

$Q=\alpha A\left(t_w-t\right)$

$\alpha$ ：对流传热系数
$A$ ：传热面积
$t_w$ ：壁面温度
$t$ ：流体主体温度（工程上需明确取值口径）

4. 管内湍流对流（关联式）⭐

管内湍流时常用关联式：

$Nu=0.023Re^{0.8}Pr^n$

👉 相关准数定义见 2. 对流传热中的几个准数 ⭐

指数 $n$ ：

被加热： $n=0.4$
被冷却： $n=0.3$

适用条件（按重点给出）：

$Re=10000\sim 120000$
$Pr=0.7\sim 120$
管长与管径之比 $L/d>60$
管壁温度与流体平均温度差不大（用于保证物性取值合理）：
- 水： $t_w-t<20\sim 30^\circ C$
- 油： $t_w-t<10^\circ C$
- 空气： $t_w-t<50^\circ C$
特征尺寸：管内径 $d$
特征温度：流体进出口温度的数学平均值

由 $Nu=\alpha l/\lambda$ 可见在该类关联式条件下，常体现为（定性比例）：

$\alpha \propto \frac{u^{0.8}}{d^{0.2}}$

5. 管外强制对流、自然对流、相变传热（要点）

管外强制对流：列管换热器中束管排列方式（正方形、正三角形等）、挡板设置等会显著影响外侧对流传热系数（通过改变流动与湍动）。
自然对流原理：温度变化引起密度变化，在重力场中形成浮升力，从而诱发流动并传热。
冷凝传热：
- 滴状冷凝与膜状冷凝：一般滴状冷凝的传热系数更大。
- 存在不凝性气体时应及时排放，否则会显著增加扩散阻力并降低冷凝传热效果。

沸腾传热：与汽化核心、过热度等密切相关，沸腾曲线体现不同沸腾区的传热机理差异。

6. 对流传热系数数量级（重点给出）⭐

空气中：

自然对流： $5\sim 25\,W/(m^2\cdot K)$
强制对流： $20\sim 100\,W/(m^2\cdot K)$

水中：

自然对流： $200\sim 1000\,W/(m^2\cdot K)$
强制对流： $1000\sim 15000\,W/(m^2\cdot K)$
蒸汽冷凝： $5000\sim 15000\,W/(m^2\cdot K)$
水沸腾： $2500\sim 25000\,W/(m^2\cdot K)$

油类中：

强制对流： $50\sim 1500\,W/(m^2\cdot K)$
蒸汽冷凝： $500\sim 2000\,W/(m^2\cdot K)$

经验性比较（定性）：

$\alpha_l>\alpha_g,\qquad \alpha_{\text{有相变}}>\alpha_{\text{无相变}},\qquad \alpha_{\text{强制}}>\alpha_{\text{自然}}$

并常见：

$\alpha_{\text{液体沸腾}}>\alpha_{\text{蒸汽冷凝}}>\alpha_{\text{液体强制对流}}>\alpha_{\text{气体强制对流}}$

蒸汽冷凝：滴状冷凝 $>$ 膜状冷凝。

三、辐射

1. 概念要点

热辐射以电磁波形式传递能量。
气体辐射与固体辐射不同：气体对波长具有选择性（选择性辐射）。
工程计算中常用黑体、灰体模型；涉及吸收率、发射率（黑度）、角系数（视角系数/形系数）。
吸收率、反射率与透射率（ $\alpha,\ \beta,\ \tau$ ）：

当辐射能入射到物体表面时，入射辐射能被分配为三部分：
- $\alpha$ —— 吸收率：入射辐射中被物体吸收的比例
- $\beta$ —— 反射率：入射辐射中被物体反射的比例
- $\tau$ —— 透射率：入射辐射中透过物体的比例
其定义为：

$\alpha=\frac{E_{\text{吸}}}{E_{\text{入}}},\qquad \beta=\frac{E_{\text{反}}}{E_{\text{入}}},\qquad \tau=\frac{E_{\text{透}}}{E_{\text{入}}}$

基于能量守恒，有：

$\alpha+\beta+\tau=1$

对不透明物体（如金属及多数工程材料），有：

$\tau=0,\qquad \alpha+\beta=1$

在热辐射平衡条件下，根据克希霍夫定律：

$\varepsilon=\alpha$

即：物体在相同条件下的发射能力等于其吸收能力。

2. 基本定律与参数 ⭐

黑体辐射出射度：

$E_b=\sigma_0 T^4=5.669\left(\frac{T}{100}\right)^4$

灰体辐射出射度同样适用：

$E=\sigma_0 T^4=5.669\left(\frac{T}{100}\right)^4$

在一定温度下，将灰体辐射能力与同温度黑体辐射能力之比定义为物体的发射率（黑度）：

$\varepsilon=\frac{E}{E_b}=\frac{C}{C_0}$

基于克希霍夫定律（在热辐射平衡条件下）：

$a=\frac{E}{E_b}$

$E_b$ ：黑体辐射出射度
$E$ ：实际表面辐射出射度
$\sigma_0$ ：斯特藩–玻尔兹曼常数（ $5.669 * 10^{-8}$ ）
$T$ ：绝对温度（K）
$\varepsilon$ ：发射率（灰体常取为常数）
$a$ ：吸收率
$C,C_0$ ：灰体、黑体辐射系数（与重点符号一致）

3. 两灰体组成的封闭体系：表面 1 与表面 2 的净辐射换热 ⭐

在两灰体净辐射换热计算中需引入角系数（又称视角系数、形系数） $\phi_{1-2}$ 。

定义： $\phi_{1-2}$ 表示从表面 1 发出的辐射能中，直接到达表面 2 的比例（与波长无关时按总辐射计）。对漫射（各向同性发射）表面， $\phi_{1-2}$ 仅由两表面的相对几何关系决定（形状、尺寸、位置与遮挡），与材料的 $\varepsilon$ 、 $\alpha$ 等表面性质无关，且满足：

$0\le \phi_{1-2}\le 1$

基本性质（工程常用）：

互易关系：

$A_1\phi_{1-2}=A_2\phi_{2-1}$

封闭体系求和关系（表面 1 对封闭系统中所有表面的角系数之和为 1）：

$\sum_j \phi_{1-j}=1$

角系数用于表征辐射在几何上的“可达性”，因此在两灰体封闭体系的净辐射换热式中以 $1/(A_1\phi_{1-2})$ 的形式体现几何约束。

$Q_{1-2} = \frac{E_{b1}-E_{b2}} { \frac{1}{A_1\phi_{1-2}} + \frac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1 A_1} + \frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2 A_2} }$

$A_1,A_2$ ：两表面积
$\phi_{1-2}$ ：角系数（视角系数）
$\varepsilon_1,\varepsilon_2$ ：两表面发射率
$E_{b1},E_{b2}$ ：以各自温度计算的黑体辐射出射度

工程提示：在两表面之间设置黑度低的灰体作为热屏，可降低辐射热损失。