化工原理U1

第一章 流体力学基础

本章核心：用静力学与动量/能量守恒描述流体的压力、流动与阻力，并能完成管路计算与流量/流速测量的基本分析。

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1.1 概述

1.1.1 化工过程中的流体问题

化工生产中大量涉及：

• 流体的输送（管路、阀门、泵/风机）
• 流体的计量与测量（压力、压差、液位、流量）
• 设备内外的流动阻力与能量消耗
• 与传热、传质、反应等耦合的流动现象（如边界层、湍流对传递过程的影响）

1.1.2 连续介质模型与“质点”思想

• 连续介质假设：把流体视作连续分布的介质，用密度、压力、速度等场量描述。
• 流体微团（质点）：足够小但仍含大量分子的体积元，便于把守恒定律写成工程方程。

1.1.3 流体基本物性（工程常用）

• 密度：$\rho=\dfrac{m}{V}$
• 比容：$v=\dfrac{1}{\rho}$
• 重度（容重）：$\gamma=\rho g$
• 可压缩性
  • 液体通常近似不可压缩（$\rho$ 近似常数）
  • 气体密度随 $p,T$ 变化显著

1.1.4 压力的定义、分类与单位

• 压力定义

  $$p=\frac{F}{A}$$

• 绝对压$p_{abs}$、表压$p_g$、真空度$p_{vac}$

  $$p_{\text{abs}}=p_{\text{atm}}+p_g,\qquad p_{\text{vac}}=p_{\text{atm}}-p_{\text{abs}}$$

• 常用换算

  $$1\ \text{atm}=1.013\times10^5\ \text{Pa}$$

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1.2 流体静力学及其应用

1.2.1 静止流体的压力性质

• 静止流体内部仅有压力（法向应力），且在同一点处各向同性。

1.2.2 静力学基本方程

取 $z$ 轴竖直向上：

• 静力学微分式

  $$\frac{dp}{dz}=-\rho g$$

• 对不可压缩流体积分：

  $$\rho gz+p=\text{常数}$$

  $$p_2-p_1=\rho g\,(z_1-z_2)$$

1.2.3 压力与压差测量

• 基本思想：沿连通静止液柱逐段应用

  $$dp=-\rho g\,dz$$

  将未知压力或压差转换为液柱高度差。

1.2.4 液位测定与液封高度

• 液位测定与液封计算的基本关系：

  $$\Delta p=\rho g\,\Delta z$$

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1.3 流体流动的基本方程

1.3.1 基本概念

• 断面平均速度

  $$u=\frac{1}{A}\int_A u\,dA$$

• 质量流速

  $$G=\rho u$$

• 体积流量

  $$Q=uA$$

• 质量流量

  $$\dot m=\rho Q=\rho uA$$

• 牛顿黏性定律（阻力产生的根本原因）

  $$\tau=\mu\frac{du}{dy}$$

• 稳定流动与不稳定流动：稳定与否只是看压力、流速等流动参数是否随时间而变，而不是看是否随位置而变。

1.3.2 连续性方程

• 一般形式

  $$\rho_1u_1A_1=\rho_2u_2A_2$$

• 不可压缩流体

  $$u_1A_1=u_2A_2$$

• 圆管

  $$u_1d_1^2=u_2d_2^2$$

1.3.3 机械能方程

• 理想伯努利方程

  $$\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}+z=\text{常数}$$

• 工程形式

  $$gz_1+\frac{p_1}{\rho}+\frac{u_1^2}{2}+w_e = z_2+\frac{p_2}{\rho}+\frac{u_2^2}{2}+w_f$$

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1.4 管路计算

1.4.1 沿程阻力

• 沿程损失

  $$w_f=\lambda\frac{l}{d}\frac{u^2}{2}$$

1.4.2 局部阻力

• 局部损失

  $$w_{\text{local}}=\zeta\frac{u^2}{2}$$

• 等效长度

  $$L_e=\frac{\zeta d}{\lambda}$$

• 阻力系数：
  突然扩大$\zeta=1$，突然缩小$\zeta=0.5$，以小管流速计算阻力损失，当量长度、粗糙度、相对粗糙度概念及对阻力的影响。

1.4.3 雷诺数与摩擦系数

• 雷诺数

  $$Re=\frac{\rho ud}{\mu}=\frac{ud}{\nu}$$

• 层流摩擦系数

  $$\lambda=\frac{64}{Re}$$

• 湍流摩擦系数

  $$\lambda=f(Re,\epsilon / d)$$

1.4.4 简单与复杂管路

• 简单管路：流量处处相同
• 并联管路：各支路压降相等

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1.5 边界层

• 壁面无滑移：$u=0$
• 边界层厚度常以速度达到主流 $99\%$ 为判据
• 分离会显著增大阻力
• 主流区：可看成是理想流体，研究流体阻力时，只要集中研究边界层即可。
• 层流边界层、湍流边界层、进口段长度、层流底层边界层分离发生于流道突然扩大的减速增压过程液体输送时应避免发生边界层分离，而对混合及传热等操作来说应利用这一现象。

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1.6 湍流

• 存在速度脉动与旋涡结构
• 阻力显著大于层流
• 摩擦系数需结合 $Re$ 与粗糙度确定

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1.7 流速与流量测量

1.7.1 皮托管

• 基本关系

  $$\frac{p_A-p}{\rho g}=\frac{u_A^2}{2g}$$

• 若压差计读数为 $R$

  $$u=\sqrt{\frac{2gR(\rho_0-\rho)}{\rho}}$$

  —点速度

1.7.2 孔板流量计

• 通用形式

  $$u_0=\frac{C_D}{\sqrt{1-(A_0/A_1)^2}} \sqrt{\frac{2(p_1-p_2)}{\rho}}$$

  = $C_0 \sqrt{\frac{2gR(\rho_0-\rho)}{\rho}}$ （$C_0$记为孔流系数）

  $$V=CA_0\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}$$

  —恒截面、变压差

1.7.3 文丘里管

略

1.7.4 转子流量计

$$V = u_0 A_0 = C_R A_0 \sqrt{\frac{2V_f (\rho_f - \rho) g}{\rho A_f}}$$

$$C_R指流量系数，A_0为变量，根式为常数$$

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1.8 因次分析法

1. 基本思想

因次分析法建立在量纲一致性原理之上：
任何正确的物理关系式中，各项的量纲必须一致，与所选单位制无关。

因此，物理过程的函数关系可以用无量纲量之间的关系来表示。

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2. 量纲与基本量纲

常用基本量纲包括：

$$M\ (\text{质量}),\quad L\ (\text{长度}),\quad T\ (\text{时间}),\quad \Theta\ (\text{温度})$$

任一物理量 $q$ 均可表示为：

$$[q] = M^{a} L^{b} T^{c} \Theta^{d}$$

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3. Buckingham $\Pi$ 定理

若某一物理过程涉及 $n$ 个有量纲物理量：

$$q_1, q_2, \dots, q_n$$

其中包含 $k$ 个相互独立的基本量纲，则这些变量之间的关系可化为：

$$f(\Pi_1, \Pi_2, \dots, \Pi_{n-k}) = 0$$

其中 $\Pi_i$ 为无量纲组合量。

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4. 无量纲群的构造

选取 $k$ 个重复变量（能覆盖全部基本量纲），将其与其余变量组合：

$$\Pi = q \, q_{r1}^{a} q_{r2}^{b} \cdots q_{rk}^{c}$$

通过令 $\Pi$ 的总量纲为 $1$，解指数 $a,b,c,\dots$，即可得到无量纲群。

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5. 因次分析法的工程意义

• 减少变量数目，简化实验与理论分析
• 揭示不同物理过程之间的相似性规律
• 为经验关联式提供理论框架

工程上常将结果写成经验形式：

$$\Pi_1 = C \, \Pi_2^{\alpha} \Pi_3^{\beta} \cdots$$

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6. 适用范围与局限

• 只能确定函数形式结构，不能给出常数 $C$ 与指数
• 需结合实验或理论分析确定具体关系